기초통계- 순열과 조합

순열(Permutation)과 조합(Combination)은 원소들을 조합하여 나열하거나 선택하는 방법을 나타냅니다. 통계학에서 사용되는 수학적인 기본개념이라서 살펴보고자 합니다.

1. 순열(Permutation)이란?

순열은 원소들을 순서에 맞게 나열하는 경우의 수를 의미합니다. 예를 들어, A, B, C라는 3개의 원소가 있다면, 이들을 나열하는 모든 경우의 수는 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA로 총 6가지입니다. 순열은 원소의 순서가 다르면 다른 경우로 취급됩니다.

2. 조합(Combination)이란?

조합은 원소들을 순서에 상관없이 선택하는 경우의 수를 의미합니다. 예를 들어, A, B, C라는 3개의 원소 중에서 2개를 선택하는 경우의 수는 AB, AC, BC로 총 3가지입니다. 조합은 순열과 달리 원소의 순서가 바뀌어도 같은 경우로 취급됩니다.

3. 순열과 조합의 계산

• 순열 계산

가방에 A, B, C, D 네 개의 공이 들어있다고 가정해 보겠습니다. 이 중에서 두 개의 공을 뽑아 나열하는 경우의 수를 계산해 보겠습니다.
이때, 가방에서 공을 뽑을 때 A, B를 뽑는 경우와 B, A를 뽑는 경우는 다른 경우라고 설정할 경우가 순열입니다.
우선 첫 번째 공을 뽑을 때 가능한 선택지는 4개(A, B, C, D) 중에서 아무거나입니다. 그리고 두 번째 공을 뽑을 때는 첫 번째에서 선택한 공을 제외하고 남은 3개의 공 중에서 선택해야 합니다.
따라서, 첫 번째 공을 선택하는 경우의 수는 4가지이고, 두 번째 공을 선택하는 경우의 수는 3가지입니다. 따라서 두 개의 공을 뽑아 나열하는 경우의 수는 4 * 3 = 12가지입니다.

이것을 좀 더 수학적으로 살펴보면 아래와 같습니다.

순열을 계산하는 식은 "n 개의 원소 중에서 r 개를 선택하여 나열하는 경우의 수"를 나타내는 수식입니다. 이를 기호로 표현하면 "n P r" 또는 "P(n, r)"로 표기합니다.

순열을 계산하는 식은 다음과 같습니다.

P(n, r) = n! / (n - r)!

여기서 "!"는 팩토리얼을 나타내는 기호입니다.      팩토리얼은 양의 정수 n에 대해 n! = n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 2 * 1로 정의됩니다.

위의 식에서 n은 전체 원소의 개수, r은 선택하여 나열할 원소의 개수를 나타냅니다. 따라서, 이 식을 사용하여 원하는 n과 r에 대한 순열의 수를 계산할 수 있습니다.

예를 들어, 4개의 원소 중에서 2개를 선택하여 나열하는 경우의 수는 다음과 같이 계산할 수 있습니다

P(4, 2) = 4! / (4 - 2)!
        = 4! / 2!
        = (4 * 3 * 2 * 1) / (2 * 1)
        = 12

따라서, 4개의 원소 중에서 2개를 선택하여 나열하는 경우의 수는 12개입니다.

• 조합 계산

가방에 A, B, C, D 네 개의 공이 들어있다고 가정해 봅시다. 이 중에서 두 개의 공을 뽑는 조합의 수를 계산해 보겠습니다.
이때, 가방에서 공을 뽑을 때 A, B를 뽑는 경우와 B, A를 뽑는 경우는 같은 경우라고 설정할 경우가 조합입니다.
조합은 순서에 상관없이 선택하는 것이기 때문에, 중복되는 경우는 제외하고 계산해야 합니다.   따라서, 순열에서 계산한 12가지 경우 중에서 중복되는 경우를 제외해야 합니다.

예를 들어, A, B 순서로 선택하는 경우와 B, A 순서로 선택하는 경우는 중복되는 경우이므로, 중복을 제외하면 12 / 2 = 6가지 경우의 수가 됩니다.

이것을 좀 더 수학적으로 살펴보면 아래와 같습니다.
조합을 계산하는 식은 "n 개의 원소 중에서 r 개를 선택하는 조합의 수"를 나타내는 수식입니다. 이를 기호로 표현하면 "n C r" 또는 "C(n, r)"로 표기합니다.

아래는 조합을 계산하는 식입니다.

C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)

위의 식에서 n은 전체 원소의 개수, r은 선택할 원소의 개수를 나타냅니다. 따라서, 이 식을 사용하여 원하는 n과 r에 대한 조합의 수를 계산할 수 있습니다.

위의 예시처럼 4 개의 원소 중에서 2 개를 선택하는 조합의 수는 아래와 같이 계산할 수 있습니다.

C(4, 2) = 4! / (2! * (4 - 2)!)
        = 4! / (2! * 2!)
        = (4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (2 * 1))
        = 6

따라서, 4개의 원소 중에서 2개를 선택하는 조합의 수는 6개입니다.